Wprowadzenie do pojęcia tensora

Tensor to struktura matematyczna będąca uogólnieniem skalarów, wektorów i macierzy. Można go postrzegać jako wielowymiarową tablicę liczb.

Tensor jako uogólnienie tablicy wartości liczbowych

Tensor to uogólniony obiekt matematyczny, który może przyjmować różną liczbę wymiarów noszących nazwę rzędu lub stopnia tensora:

• tensor rzędu 0 → skalar, np. pojedyncza wartość $x = 1$,
• tensor rzędu 1 → wektor, np. $v = [1, 2, 3, 4]$,
• tensor rzędu 2 → macierz, np. $A = \begin{bmatrix} 1, 2, 3 \\ 4, 5, 6 \\, 7, 8, 9\end{bmatrix}$,
• tensor rzędu > 3 → tablice wielowymiarowe (bardzo uogólnione ujęcie).

Notacja i zapis tensorów

Tensory reprezentowane są za pomocą skali indeksowej:

• skalar: $a$,
• wektor: $v_i$ gdzie $i$ oznacza indeks pozycji,
• macierz: $A_{i, j}$ gdzie $i, j$ oznaczają współrzędne wiersza i kolumny,
• tensor rzędu 3 i wyższego: $T_{i, j, ...}$ gdzie $i, j, ...$ oznaczają indeksy w dowolnej liczbie wymiarów.

Operacja mnożenia macierzy

Ujęcie teoretyczne

Macierze są przykładami tensorów rzędu 2 - przechowują dane w dwóch wymiarach: wierszach i kolumnach.

Matematycznie, macierz $A$ o wymiarach $M \times K$ i macierz $B$ o wymiarach $K \times N$ można przedstawić jako: